前期中間試験中ですが,ブログ更新です!
今回は私の大好きなDesmos Graphing Calculatorの紹介です.
Desmos Graphing Calculatorは式を入力するだけでグラフを書いてくれる強力なツールです.
かなり便利で良いのですが,私の周りで使ってる人もあまり居ないようなので知名度はそんなに高くないのかも知れません.
https://www.desmos.com/calculator
Desmosのスライダ機能が本当に良いのでそれを使った凾数の展開を見るのが面白いと思います.
グラフをクリックするとDesmosのページに飛んでぺたぺたが確認できます.
y=exp(x)のMaclaurin展開です.スライダでa次までの和をとった時の収束が確認できます.
Maclaurin展開で項を足していった時にぺたぺたくっついていく感じが本当に楽しい.
同様にy=sin(x)のMaclaurin展開.
y=cos(x)もMaclaurin展開.
y=sin(x)の無限積展開.
無限積展開もぐりぐり収束していく感じが面白いですね.
y=cos(x)の無限積展開.
y=tan(x)の部分分数展開.
y=Γ(x)の部分分数展開.
Twitterで見つけた情報です.Gamma凾数も部分分数展開できるそうです.なんでこんな展開になるんだろ.不思議だなぁ.
2013年6月9日日曜日
2013年3月27日水曜日
1^2+2^2+3^2+…+n^2は幾らか.など
先一昨日,以下のようなツイートをしました.
ここまで拡散されるのは初めてで驚きでした.
PDF版をこちらに上げました.
http://dl.dropbox.com/u/107238704/Sum_of_SqareNumbers.pdf
解説
これは
を
のようにして求める手法を参考にして考えました.
正方形を2つの3角形に分割するイメージです.
これを拡張すると立方体を3つの4角錐に区切ることになって以下のようになります.
1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6を証明しました.多分これより簡単な証明はないはず! twitter.com/Hyrodium/statu…
— 口内炎を倒したさん (@Hyrodium) 2013年3月24日
このツイートがかなり伸びて2000以上のRT,FAVを頂きました.ここまで拡散されるのは初めてで驚きでした.
PDF版をこちらに上げました.
http://dl.dropbox.com/u/107238704/Sum_of_SqareNumbers.pdf
解説
のようにして求める手法を参考にして考えました.
正方形を2つの3角形に分割するイメージです.
これを拡張すると立方体を3つの4角錐に区切ることになって以下のようになります.
この形に近似するには底面の辺の長さがn,高さ1の直方体を積み重ねれば良くてこのようになります.
しかし,3つ組み合わせても直方体にならなくて少しはみ出してしまいます.
そこでこのようにして
2組貼り合わせてあげればきれいな直方体になってそれぞれの辺の長さから求まります.
よって
が示されます.
3乗では
となります. これは4次元空間上で立方体を重ねてできる超4角錐(底体が立方体で超高さが立方体の辺の長さに等しい)を4つ組み合わせるとはみ出さずに4次元超直方体(辺の長さはn,n,n+1,n+1)ができることを示しています. 普通に3次元空間上でも図示することも出来ますが.
4乗では
5乗では
となるので図示するの結構大変そうです.
(求めるの結構たいへんでした.)
Twitterでたくさん拡散されて他の証明方法などを教えて頂けました.
因みに僕の思いついた視覚化は既出だったようです. (当然か)
Proof of the Sum of Square Numbers
http://mathandmultimedia.com/2012/05/27/proof-of-the-sum-of-square-numbers/
はみ出した部分を半分に切って埋めています.
【図形あそび】切り・貼り・重ねて 箱数え
http://pageapps.mixi.jp/diary/view_diary.pl?page_id=50830&module_id=266516&diary_id=16990
別の切り貼りの仕方で実現しています.
別の方法での証明(きゅうり氏)
https://twitter.com/kyuridenamida/status/315806128040706049
3角形を転がして和をとって求めています.
和の公式へのアプローチ
http://izumi-math.jp/S_Yoshida/wa/wa.pdf
色々のアプローチがあって僕の証明と完全に同じものも載っています.殆ど網羅している感じでとても参考になります.
平方数の和、立方数の和の視覚化-冬の数学日記
http://d.hatena.ne.jp/Wagomu/20130325/1364188085
@fuyu_atsusugiさんが僕のツイートを受けて別な証明を示してくれました!
Σk^2,Σk^3 の公式の模型
http://www.h6.dion.ne.jp/~ooya/Suugaku/index.html
@takemathさんの視覚化の模型は素晴らしかったです. n項までの和に対してのn+1項まで和の増分がどれ程か分かり易いのが良いです. gifとかも作りました. 下の方にあります.
ではでは.
2013/04/16更新
実際にこの模型を作ってみました.
http://makebooth.com/i/EsgYB
2014/03/09更新
POV-Rayでgifアニメ作りました.
http://hyrodium.tumblr.com/post/77595658481/the-proof-of-sum-of-square-numbers
2014/04/03更新
tumblrの方の投稿
http://hyrodium.tumblr.com/post/77595658481/the-proof-of-sum-of-square-numbers
がめっちゃlike,reblogされて2000notesを超えました.すごい.海外でもあまり知られてなかったみたいですね.
僕の投稿を見てJennifer Silvermanさんが実際に木で模型を作ってくれました.
http://jensilverman.tumblr.com/post/80916779079/sum-of-the-squares-demo
https://www.youtube.com/watch?v=g12VwZIstCs
2015/02/15更新
@takemathさんによる視覚化の動画作成&リンク追加
しかし,3つ組み合わせても直方体にならなくて少しはみ出してしまいます.
そこでこのようにして
2組貼り合わせてあげればきれいな直方体になってそれぞれの辺の長さから求まります.
よって
3乗では
4乗では
(求めるの結構たいへんでした.)
Twitterでたくさん拡散されて他の証明方法などを教えて頂けました.
因みに僕の思いついた視覚化は既出だったようです. (当然か)
Proof of the Sum of Square Numbers
http://mathandmultimedia.com/2012/05/27/proof-of-the-sum-of-square-numbers/
はみ出した部分を半分に切って埋めています.
【図形あそび】切り・貼り・重ねて 箱数え
http://pageapps.mixi.jp/diary/view_diary.pl?page_id=50830&module_id=266516&diary_id=16990
別の切り貼りの仕方で実現しています.
別の方法での証明(きゅうり氏)
https://twitter.com/kyuridenamida/status/315806128040706049
3角形を転がして和をとって求めています.
和の公式へのアプローチ
http://izumi-math.jp/S_Yoshida/wa/wa.pdf
色々のアプローチがあって僕の証明と完全に同じものも載っています.殆ど網羅している感じでとても参考になります.
平方数の和、立方数の和の視覚化-冬の数学日記
http://d.hatena.ne.jp/Wagomu/20130325/1364188085
@fuyu_atsusugiさんが僕のツイートを受けて別な証明を示してくれました!
Σk^2,Σk^3 の公式の模型
http://www.h6.dion.ne.jp/~ooya/Suugaku/index.html
@takemathさんの視覚化の模型は素晴らしかったです. n項までの和に対してのn+1項まで和の増分がどれ程か分かり易いのが良いです. gifとかも作りました. 下の方にあります.
ではでは.
2013/04/16更新
実際にこの模型を作ってみました.
http://makebooth.com/i/EsgYB
2014/03/09更新
POV-Rayでgifアニメ作りました.
http://hyrodium.tumblr.com/post/77595658481/the-proof-of-sum-of-square-numbers
2014/04/03更新
tumblrの方の投稿
http://hyrodium.tumblr.com/post/77595658481/the-proof-of-sum-of-square-numbers
がめっちゃlike,reblogされて2000notesを超えました.すごい.海外でもあまり知られてなかったみたいですね.
僕の投稿を見てJennifer Silvermanさんが実際に木で模型を作ってくれました.
http://jensilverman.tumblr.com/post/80916779079/sum-of-the-squares-demo
https://www.youtube.com/watch?v=g12VwZIstCs
2015/02/15更新
@takemathさんによる視覚化の動画作成&リンク追加
.@takemath さんの自然数の2乗和(http://t.co/MCk74Mrpfc http://t.co/s3CH61V6qq)に感動したのでgif作りました. pic.twitter.com/oan8ecqQBu
— ほりたみゅ (@Hyrodium) January 24, 2015
http://hyrodium.tumblr.com/post/109000595139/i-made-gif-animations-of-sum-of-square-numbers2013年1月1日火曜日
あけましておめでとうございます.それと告知.
あけましておめでとうございます.
僕は元気です.
さて,来る3/16(土)(仮)に小学生対象のロボット教室を開くこととなりました.
会場は大阪府立大学工業高等専門学校テクノセンタ一階CIM実験実習室です.
まだ学校のホームページに載ってませんが,更新されればここに出ると思います.
どのようなロボットを作るか考え中ですが,去年はこれを作ってもらいました.
去年,ロボット教室を開くことを初めて経験し,自分の作ったもので誰かが喜ぶ楽しさを知りました.特に相手が小学生なので超楽しい.今年も楽しみです.
今年もHyrodium laboratoryを宜しくお願いします!
そして,2013年がみなさんにとって楽しい一年となりますように!
僕は元気です.
さて,来る3/16(土)(仮)に小学生対象のロボット教室を開くこととなりました.
会場は大阪府立大学工業高等専門学校テクノセンタ一階CIM実験実習室です.
まだ学校のホームページに載ってませんが,更新されればここに出ると思います.
どのようなロボットを作るか考え中ですが,去年はこれを作ってもらいました.
去年,ロボット教室を開くことを初めて経験し,自分の作ったもので誰かが喜ぶ楽しさを知りました.特に相手が小学生なので超楽しい.今年も楽しみです.
今年もHyrodium laboratoryを宜しくお願いします!
そして,2013年がみなさんにとって楽しい一年となりますように!
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